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微分方程在航天科技中的应用

【择要】嫦娥三号卫星软着陆筹备历程中轨道近月点与远月点的位置确定异常紧张.本文针对着陆筹备轨道近月点与远月点的位置确定,以月心为极点,偏向为远月点指向近月点,以由远月点与近月点两点所确定的直线为极轴,建立极坐标系.接着,根据理论力学二体问题中的动量矩积分,以及嫦娥三号在太空中遵照机器能守恒定理和角动量守恒,求出嫦娥三号在近月点的速率和远月点的速率.

【关键词】经典力学理论;二体问题;微分方程模型

1 问题提出

嫦娥三号携带中国第一艘月球车于2013年12月14日成功实现中国首次月球软着陆,要包管其准确在月球预订区域实现软着陆,其轨道与节制策略的设计为关键问题.现思虑若何准确设计100 km×15 km的环月着陆筹备轨道和从近月点到着陆点的着陆轨道,确定卵形着陆筹备轨道的近月点与远月点的位置,并分手谋略出嫦娥三号在近月点与远月点时的速率大年夜小及其偏向?

2 问题探究

结合二体问题中的动量矩积分和轨道积分以及机器能守恒定理和角动量守恒定理综合阐发,确定嫦娥三号近月点与远月点的位置和谋略出其对应的位置大年夜小和偏向.对多个身分进行阐发,综合斟酌了影响事物成长的多个身分,从而前进结果的准确性.

3 问题阐发与结果

通干预干与题钻研探究,本文以微分方程为根基,对嫦娥三号着陆轨道的近月点与远月点的位置做以下阐发:

3.1 建立微分方程模型

3.1.1 模型的假设

基于嫦娥三号卫星相符“开普勒定律”和“牛顿第二定律”,因为其是做平面运动,可在平面内用平面极坐标(r,θ)来表示其运动方程.现以月心为极坐标的圆心,以近月点与远月点所在的直线为横坐标,建立平面极坐标系,如图3.1所示:

图3.1 平面极坐标系

根据图3.1的极坐标系的建立,假设A点便是嫦娥三号的远月点的位置,B点便是嫦娥三号的近月点的位置.

下面,我们建立微分方程模型对上述假设进行验证.

3.1.2 模型的引入

根据理论力学可知,若将月球当作一个密度平均散播的正球,则它对卫星的吸引力可等效于一个质点,这样月球与卫星就构成一个二系一切.可在月心惯性坐标系斟酌卫星相对月心的运动.卫星位置质量为r(x,y,z),卫星速率矢量为r·x·,y·,z·,卫星加速率矢量,万有引力常量为G,卫星的质量为m,月球的质量为M,根据万有引力定律,卫星受月球引力F→为:

3.2 嫦娥三号近月点与远月点的速率求解

3.2.1 引入

嫦娥三号卫星发射18分钟后就已经脱离地球,并进入预定的地月转移轨道.在经历了大年夜约5天的地月转移轨道运行后,颠末近月制动进入环月轨道;在100公里环月圆轨道运行约4天后择机变轨,来到远月点变轨进入100公里×15公里的卵形着陆筹备轨道;再运行大年夜约4天的光阴,嫦娥三号到达着陆预定轨道的近日点进行月面的降低.终极于2013年12月14日21时11分18.695秒,嫦娥三号卫星成功实现软着陆.

3.2.2 万有引力定理与开普勒定律的利用

当嫦娥三号卫星到达远月点与近月点时,不受其他外力的感化,只有重力和系统内弹力做功.即太空这一个系统中,嫦娥三号卫星的动能和势能可以互相转化.即嫦娥三号卫星在远月点与近月点时,机器能守恒.

4 结 语

本文以微分方程为根基,将若何准确设计100 km×15 km的环月着陆筹备轨道和从近月点到着陆点的着陆轨道,确定卵形着陆筹备轨道的近月点与远月点的位置,并针对嫦娥三号在近月点与远月点时的速率大年夜小及其偏向的问题做了理性的阐发并给出钻研结果.经由过程本文的钻研,可知微分方程在航空科技中发挥了相称紧张的感化.这一利用的肯定将对航天科技的成长作出更为显明地供献.

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